第246章 函数之妙－－lnx/x（续）（1/2）

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《246函数之妙——lnx/x（续）》

夫函数 lnx/x，其魅力无穷，如璀璨之星，照亮数学之苍穹。前文已详述其特性、应用及意义，今当更进一步，深入探索其更为深邃之奥秘。

且说有一智者，名曰文，常游于学林之间，与诸学子共探数学之妙。文善启学子之智，引其深入思考，学子们亦对文敬重有加，常围而请教。

一、函数的高阶导数

1. 一阶导数的再审视

回顾 f(x)=lnx/x 的一阶导数 f'(x)=(1-lnx)/x2，其在确定函数单调性方面发挥了关键作用。当 0＜x＜e 时，f'(x)＞0，函数单调递增；当 x＞e 时，f'(x)＜0，函数单调递减。此乃函数变化之根本规律，然仅止于此，尚不足以尽显其精妙。

学子甲曰：“先生，此一阶导数之变化，吾辈已明了，然其深意何在？”文笑而答曰：“此一阶导数，乃函数变化之关键。如行军之帅，引领函数之增减。当 f'(x)＞0 时，函数如勇进之师，气势如虹；当 f'(x)＜0 时，函数似退避之卒，渐趋平缓。汝等当细思其变，方能悟函数之真谛。”

2. 二阶导数的推导与分析

求 f(x)的二阶导数 f''(x)。对 f'(x)=(1-lnx)/x2求导，根据求导法则可得：

f''(x)=[(1-lnx)'x2-(1-lnx)(x2)']/x?

=(1/x*x2-(1-lnx)*2x)/x?

=(x-(1-lnx)*2x)/x?

=(x-2x+2xlnx)/x?

=(2xlnx - x)/x?

=(2lnx - 1)/x3。

分析二阶导数的意义：二阶导数反映了函数的凹凸性。当 f''(x)＞0 时，函数图像为凹；当 f''(x)＜0 时，函数图像为凸。

令 f''(x)=(2lnx - 1)/x3＞0，即 2lnx - 1＞0，2lnx＞1，lnx＞1/2，解得 x＞√e。

故当 x＞√e 时，函数 f(x)=lnx/x 为凹函数；当 0＜x＜√e 时，函数为凸函数。

学子乙疑惑道：“先生，此凹凸之性，于实际有何用焉？”文曰：“此凹凸之性，用处甚广。如在工程设计中，可依此判断结构之稳定性；在经济领域，可借此分析市场之走势。汝等当结合实际，深思其用。”