第108章 湖心有个小岛（1/1）

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任他们忙得热火朝天，李二狗却独自闲庭信步。只有在周末的时候，他才会听一下高建和李金旺简要的工作汇报。

他整日里还是读书、学习、练功和玩牛顿摆的游戏。周洁和韩刚还是在周末来蹭酒。

这个周末的晚上，吃完晚饭，李二狗忽然向周洁提出了他近几天一直在琢磨的一个数学问题。

“周老师，我这几天想到了一个数学游戏，自己却解不出来，你能不能帮我研究一下？”

“什么问题？说来听听？”周洁道。

“湖心有个小岛，是个半径5米的圆。小岛的中心有个池塘，是个半径4米的圆。汤姆是一只猫，约翰是一只老鼠。约翰会游泳而汤姆不会。约翰在陆地上的速度是4米每秒，在水里游泳的速度是1米每秒。约翰在水塘里，而汤姆在池塘的岸上。它们开始做一个猫捉老鼠的游戏，它们在池塘的岸边击掌后，游戏就开始了，只要约翰能从池塘逃到湖里就算它赢。问：汤姆的速度是多少时，才能赢得胜利？”

问题比较长，李二狗复述了两遍周洁和韩刚才听明白。思索了一会，韩刚就有了答案。

“约翰最佳的逃跑路线就是逃往池塘的对面，总长度8米，而汤姆要走的路程是半圆，总长度为4π米，4π除以8等于0.5π。因此，只要汤姆的速度大于约翰的0.5π倍，约翰就永远上不了岸。因此，答案大概是1.5708米每秒。”

“事情没有那么简单。”周洁道：“约翰如果不傻的话，它不会沿着直径一直跑。当它跑到池塘中心的时候，它会停下来观察一下。然后朝着汤姆相反的方向跑。这样，约翰逃到池塘边，只需要跑完4米的路程就可以了，而汤姆仍然需要跑完半圆，即4π米。4π除以4等于π。所以，汤姆的速度必须大于约翰的π倍才可以，大概是3.1416米每秒。”周洁道。

韩刚一拍大腿：”对呀，我怎么没考虑到！这可是个聪明的老鼠啊！”

李二狗摇了摇头：“你们说的都不对。”

“哦？”两人同时看向李二狗。

“我的计算结果表明，汤姆的速度即使达到4米每秒，也抓不到约翰。”

“怎么可能？”周洁道。

“汤姆是个聪明的老鼠，它不会直接从池塘的中心向对岸跑的。它会绕着以池塘的中心为圆心半径为1米的圆来跑。汤姆只能绕着半径为4米的圆来跑。约翰只要稍微缩小一下圆的半径，哪怕只有极其微小的量，它就最终都会跑赢汤姆，从而跑到汤姆的对面去。这时，约翰只需要再跑3米，就能跑到岸边，而汤姆仍然需要跑完半圆，即4π米。4π除以3大于4。也就是说，汤姆的速度必须达到4米每秒以上才有可能追上约翰。要知道，约翰在陆地上的速度也是4米每秒，汤姆如果低于这个速度，就会眼睁睁地看着约翰逃进湖里。”

“我明白了，约翰的跑法其实还可以优化，就是当它向岸边开跑后，它会立即瞄一眼汤姆跑的方向，然后它会向相反的方向斜着跑，而且这个方向可能还需要不断地转换。以保证能把汤姆甩开足够的距离。否则，即使它上了岸，至少还要跑1米才能进入湖中，汤姆有可能在这个过程中抓住它。”周洁分析道。

“是的，我也只能分析到这里，后面我就分析不出来了。就算用微积分的方法，我也弄不出来。”

周洁继续道：“我还可以从另一个角度提出一个问题：如果汤姆的速度是4.1米每秒，那么约翰至少需要多少时间可以赢得胜利？它的最佳逃跑路径是什么？”

这个问题困扰了我笔者多年。读者诸君，有谁会解这猫和老鼠的游戏呢？如果真的没有人能解得出，那么有人认识韦神吗？